R1 - H21#

Løsningsforslag til eksempelsett for eksamen i matematikk R1 - Høst 2021

I lenken over finnes både oppgavesettet og UDIR’s eget løsningsforslag med kommentarer og beskrivelse av vurdering.

Del 1- Oppgave 1#

Bestem grenseverdien:

\[\lim_{x \rightarrow 1} = \frac{x - 1}{x^2 + x -2}\]

Løsning:

\[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x - 1}{x^2 + x -2} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{3}\]

Del 1 - Oppgave 2#

Vi har vektorene: \(\vec{a}=[2,-5], \vec{b}=[1,-4], \vec{c}=[-2,10]\) og \(\vec{d}=[4,1]\)

a) Avgjør om noen av vektorene har samme lengde
b) Avgjør om noen av vektoren står normalt på hverandre
c) Avgjør om noen av vektorene er parallelle

Løsning:

Oppgave a)

Regner ut lengdene

\[\begin{split} \begin{align} |\vec{a}|&=\sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{29} \\ |\vec{b}|&=\sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{17} \\ |\vec{c}|&=\sqrt{(-2)^2 + 10^2} = \sqrt{104} \\ |\vec{d}|&=\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \end{align} \end{split}\]

Vi ser at \(\vec{b}\) og \(\vec{d}\) er like lange, og har lengden \(\sqrt{17}\)

Oppgave b)

Sjekker at skalarproduktet mellom vektorene er 0. Dette gjelder kun \(\vec{b}\) og \(\vec{d}\) der vi har:

\[\vec{b} \cdot \vec{d} = [1, -4] \cdot [4,1]=4-4=0\]

Oppgave c)

Faktoriserer slik at x-komponenten er 1 i alle vektorer. Parallelle vektorer vil da ha lik absoluttverdi av y-komponenten.

\[\begin{split} \begin{align} \vec{a} &= 2 \cdot [1, -\tfrac{5}{2}] \\ \vec{b} &= [1, -4] \\ \vec{c} &= -2 \cdot [1, -5] \\ \vec{d} &= 4 \cdot [1, \tfrac{1}{4}] \end{align} \end{split}\]

Absoluttverdien av alle y-komponentene er ulike. Det betyr at ingen av vektorene er parallelle.

Del 1 - Oppgave 3#

I denne oppgaven har eleven definert funksjonen: \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\) og variablene \(h=0.0001\) og \(x=0\)

Løsning:

Oppgave a)

I whileløkken så sjekkes det om \(\frac{f(x + h) - f(x)}{h}>0\). Dette gjøres gjentattet ganger og \(x\) økes med \(0.01\) for hver iterasjon.

I løkken sjekkes det for hver iterasjon om \(\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0\). Når dette ikke er tilfellet lenger så avbrytes løkken. I praksis har man da funnet ut når stigningstallet, altså den deriverte, til funksjonen går fra positiv verdi til negativ eller null for første gang for \(f(x)\) når \(x > 0\). Altså har man funnet et toppunkt eller et terassepunkt for funksjonen.

Oppgave b) For sjekke hva resultatet blir uten å kjøre programmet må vi derivere funksjonen \(f(x)\) og se når \(f'(x)=0\).

Vi setter \(u = x\) og \(v=1+x^2\) og får:

\[\begin{split} \begin{align} f'(x)&=\frac{u'\cdot v- u \cdot v'}{v^2}\\ &= \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2}\\ &= \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \end{align} \end{split}\]

Løser vi \(f'(x) = 0\) ser vi at \(x=1\)

Dette er en del1-oppgave som skal løses uten hjelpemidler, men vi tester koden allikevel i dette løsningsforslaget.

# Test av programkoden i R1_H21_Eksempel - Oppgave 3

def f(x):
    return x / (1 + x**2)

h = 0.0001
x = 0

while (f(x + h) - f(x)) / h > 0:
    x = x + 0.01
print("x=", x)

x= 1.0000000000000007

Del 1 - Oppgave 4#

Vi har linjen \(y = 2x + 4\) og Hva er koordinatene til punktet vi får hvis vi speiler punktet \(P(6,1)\) om linjen \(y\)

\(Q = [t, 2t + 4]\) gir oss en parameterfremstilling av linja \(y\). og \(\vec{v} = [1, 2]\) er retningsvektor for linja \(y\).

Når \(\vec{PQ} \perp \vec{v}\) Har vi normalvektor til linja \(y\). Det vil si når \(\vec{PQ}\cdot \vec{v} = 0\).

Det gir \(t = 0\) som igjen gir \(\vec{PQ} = [-6, 3]\). Det speilede punktet \(\vec{PR}\) må da ligge på \(2\vec{PQ} = [-12,6]\)

Som gir oss \(\vec{OR} = \vec{OP} + \vec{PR} = [6 - 12, 1 + 6] = [-6, 7]\)

Del 1 - Oppgave 5#

Funksjonen \(f(x) = 4x \cdot e^{-x}\) passer til figur II fordi:

\[f'(x) = 4\cdot e^{-x} - 4x \cdot e^{-x} = 4(1-x)e^{-x}\]

Siden \(f'(1)=0\). Vi har altså et ekstremalpunkt på \(x=1\).

\[f''(x) = -4e^{-x} - 4(1-x)\cdot e^{-x} = 4(2-x)e^{-x}\]

\(f''(2)=0\) gir oss vendepunkt i \(x=2\). Da er det kun figur II som passer.

Del 2 - Oppgave 1#

En vektorfunksjon er gitt ved \(\vec{r}(t) = [28t-3t^2, 10t-5t^2]\)

Løsning:

a) Finn banefarten i \(\vec{r}(0)\)

Vet at farten \(\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [28-6t, 10-10t]\).

Dette gir oss \(\vec{v}(0)=[28, 10]\) som har lengden \(|\vec{v}|=\sqrt{28^2 + 10^2} = 29.7\)

Løsning av oppgave b og c på Geogebra med CAS:

Løsning av oppgave b og c