Derivasjon#

Derivasjon er en operasjon på en funksjon som forteller om hvordan funksjonen endrer seg, altså hvordan funksjonsverdien stiger eller synker. Det å utføre en derivasjon kalles å derivere funksjonen.

For en funksjon f(x) er den deriverte funksjonen ekvivalent med følgende begreper:

  1. Den momentane vekstraten til funksjonen f(x)

  2. Stigningstallet til tangenten til funksjonen f(x) i punktet x

Definisjon av den deriverte - Newtons kvotient#

Vi vet at vi kan finne gjennomsnitlig vekstfart ved å se på endringen i funksjonsverdi i et gitt intervall.

\[\bar{a}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Hvis vil velger å se på mindre og mindre intervaller (grenseverdien \(h=x_2-x_1\) går mot \(0\)), har vi:

\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}\]

Eksempel#

Vi begynner med å definere den deriverte med programkode:

def derivert(f, x, h):
    return (f(x+h) - f(x)) / h

Så definerer vi funksjonen \(f(x) = x^2 + 2x -3\)

def f(x):
    return x**2 + 2 * x - 3

Vi vet fra klassisk matematikk at \(f'(x) = 2x+2\) når \(f(x)=x^2+2x-3\).

Setter vi inn en verdi for x i den deriverte, for eksempel 5, har vi \(f'(5) = 2\cdot5+2=12\) som da er den deriverte av \(f(x)\) i punktet \(x=12\)

Ved å bruk de definerte funksjonene i python har vi:

print(derivert(f, 5, 0.1))

12.099999999999937

En forbedret utgave - Newtons symmetriske kvotient#

La oss se om vi kan forbedre definisjonen ved å se på et symmetrisk område rundt x. Vi modifiserer uttrykket for den deriverte slik:

\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x - h)}{2h}\]

Vi lar nå grenseverdien nærme seg symmetrisk fra begge sider.

def derivert_2h(f, x, h):
    return (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h)

print(derivert_2h(f, 5, 0.1))

11.999999999999957

Oppgaver#

  1. Studer koden i eksemplene over.

    • Hva er \(h\) i eksemplene over?

    • Hva skjer når du endrer på \(h\)?

    • Deriver funksjonen \(f(x)=x^2+2x-3\) i GeoGebra og sammenlign med resultatene i eksemplene. Hva ser du?

  2. Bruk numerisk derivasjon for å lage en graf for \(f'(x)\) når x\(\epsilon[0,10]\) for \(f(x)=x^3-2x^2-x+5\)

  3. Bygg videre på oppgave 2, og lag et program som vurderer hvor godt estimatet treffer for \(f'(5)\) når du bruker verdier for \(h\) fra \(1\cdot 10^{-1}\) til \(1\cdot 10^{-20}\).

  4. Bruk numerisk derivasjon for å lage en graf for \(f(x)\) og \(f^\prime(x)\) for \(f(x) = sin(x)\) når x\(\epsilon[0,2\pi]\)

  5. Fra fysikken vet vi at: \(a(t)=v'(t)=s''(t)\). Bruk numerisk derivasjon for å lage en graf for strekning, fart og akselerasjon når du vet at \(s(t)=-0.01t^3+0.3t^2+8t\) når \(t\in[0,10]\)

  6. Når vi skal derivere produktet av to funksjoner, kan vi bruke regelen:

\[(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

Gitt de to funksjonene:

\[u(x) = sin(\frac{1}{x^2}) \quad v(x) = \sqrt{ln(x)} \quad x\in \langle 1,5]\]

Lag et Python-program som regner ut høyre og venstre side i produktregelen for derivasjon, og sammenlikn svarene.